美麗的方程
1、廣義相對論。作為開創(chuàng)性的廣義相對論的一部分，由愛因斯坦于1915年創(chuàng)立。該理論將力描述為空間和時(shí)間的扭曲，革新了科學(xué)家們對于引力的認(rèn)識。
“一個(gè)方程就能將時(shí)空描述殆盡，這在今天仍然讓我覺得不可思議。”美國太空望遠(yuǎn)鏡科學(xué)研究所天體物理學(xué)家馬里奧·利維奧說道。他因此提名廣義相對論方程為他最喜歡的方程。“愛因斯坦真正的天才全都體現(xiàn)在了這一公式中。”
“方程右邊描述了宇宙的能量內(nèi)容（包括暗能量），”利維奧解釋道。“左邊描述了時(shí)空幾何。這一相等關(guān)系反映出在愛因斯坦的廣義相對論中，質(zhì)量和能量決定了幾何及隨之而來的曲率，即我們稱之為引力的一種表現(xiàn)。”
“這是一個(gè)非常優(yōu)雅的方程，”紐約大學(xué)物理學(xué)家凱爾·克蘭默說道。他認(rèn)為此方程揭示了時(shí)空、物質(zhì)及能量間的關(guān)系。“這一方程告訴你這三者是如何關(guān)聯(lián)起來的——太陽的存在如何扭曲了時(shí)空，使地球圍繞它運(yùn)動(dòng)等等。它還告訴了人們自大爆炸以來宇宙是如何演化的，并預(yù)言了黑洞的存在。”
2、標(biāo)準(zhǔn)模型。標(biāo)準(zhǔn)模型，另一個(gè)稱霸物理界的理論，描述了被認(rèn)為組成了宇宙的基本粒子的集合。
該理論可以濃縮成一個(gè)名為標(biāo)準(zhǔn)模型拉格朗日函數(shù)的主要方程。美國加州國家加速器實(shí)驗(yàn)室的理論物理學(xué)家蘭斯·狄克森稱，這是他最喜歡的方程。
“它成功地描述了迄今為止我們在實(shí)驗(yàn)室里觀察到的所有基本粒子和力——除了引力，”狄克森說道。“這包括最近發(fā)現(xiàn)的希格斯玻色子，即公式中的φ。它是完全自洽的。”
然而，標(biāo)準(zhǔn)模型理論尚未與廣義相對論統(tǒng)一，因此還無法描述引力。
3、微積分。前兩個(gè)方程描述了宇宙的特定方面，而最受科學(xué)家喜愛的另一方程則適用于所有情況。微積分基本定理奠定了微積分這一數(shù)學(xué)方法的基石，并將積分和導(dǎo)數(shù)這兩大概念聯(lián)系在一起。
“簡單說來，這個(gè)方程講的是平穩(wěn)連續(xù)的量的凈變化，比如特定時(shí)間區(qū)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離等于這一量的變化率的積分，例如速度的積分。”福特漢姆大學(xué)數(shù)學(xué)系主任梅爾卡娜·布拉卡洛娃-特萊維西柯將這一方程選為自己最喜歡的方程。“微積分基本定理使我們得以基于整體區(qū)間變化率來確定一個(gè)區(qū)間中的凈變化。”
微積分的種子自古代就已萌芽，但直到17世紀(jì)才由牛頓集其大成。牛頓用微積分描述了圍繞太陽的行星的運(yùn)動(dòng)。
4、勾股定理。勾股定理是每個(gè)初學(xué)幾何的學(xué)生都會(huì)學(xué)到的定理，雖然古老卻讓人百看不厭。
這一公式說的是對任意直角三角形而言，斜邊長度的平方c等于其他兩邊長度的平方和，即a^2 + b^2 = c^2。
“第一個(gè)令我著迷的數(shù)學(xué)定理就是勾股定理，”康奈爾大學(xué)的數(shù)學(xué)家戴娜·泰米那說道。“在孩提時(shí)代的我眼中，這個(gè)定理既適用于幾何，在數(shù)字上也成立，真是太神奇了！”
5、1=0.999... 這個(gè)看起來再簡單不過的方程表明，0.999及其后無數(shù)的9等于1.這是康奈爾大學(xué)數(shù)學(xué)家斯蒂芬·斯特羅加茨最為喜歡的。
“我愛它的一目了然——每個(gè)人都看得懂——然而它卻如此引人深思。”斯特羅加茨說道。“很多人不相信這個(gè)等式是正確的。而且它達(dá)到了完美的平衡。左邊表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)端；右邊表現(xiàn)了無限的奧秘。”
6、狹義相對論。愛因斯坦再次因?yàn)樗莫M義相對論上榜。狹義相對論描述了時(shí)間和空間為何不是絕對的概念，而是由觀察者的速度所決定的相對概念。上述公式顯示了當(dāng)一個(gè)人無論在任何方向上移動(dòng)得越快，時(shí)間就會(huì)膨脹或者說變慢。
“關(guān)鍵是它其實(shí)非常簡單，”日內(nèi)瓦CERN實(shí)驗(yàn)室的粒子物理學(xué)家比爾·默雷說道。“其中沒有復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)和代數(shù)，連高中生都能理解。然而它表現(xiàn)了一種全新的看待世界的方式、對待現(xiàn)實(shí)的態(tài)度及我們與世界的關(guān)系。突然之間，亙古不變的宇宙被個(gè)人化的世界取而代之。你從宇宙的旁觀者、局外人，變成了其中的一份子。只要愿意，任何人都能掌握其中的概念和數(shù)學(xué)。”
默雷稱，比起愛因斯坦后期理論中更復(fù)雜的那些公式，他更傾心于狹義相對論方程。“我永遠(yuǎn)也理解不了廣義相對論的數(shù)學(xué)。”他說。
7、歐拉方程。這一簡潔的公式包含了關(guān)于球面本質(zhì)的純粹真理：
“它說的是，如果你將一個(gè)球體的表面分割成多個(gè)面、邊和頂點(diǎn)，設(shè)F為面數(shù)，E為邊數(shù)，V為頂點(diǎn)數(shù)，那么V – E + F就永遠(yuǎn)等于2。”馬薩諸塞州威廉姆斯學(xué)院的數(shù)學(xué)家柯林·亞當(dāng)斯說。
“因此，以一個(gè)正四面體為例，它包含4個(gè)面、6條邊和4個(gè)頂點(diǎn)。”亞當(dāng)斯解釋道。“如果你用力擊打一個(gè)軟面的四面體，最終你會(huì)得到一個(gè)球體。這樣看來，一個(gè)球體可以被分割為4個(gè)面、6條邊和4個(gè)頂點(diǎn)。我們可以看到V – E + F = 2。對五面的金字塔來說也是如此——4個(gè)三角和1個(gè)正方形，8條邊和5個(gè)頂點(diǎn)。”對其他任何面、線及頂點(diǎn)的組合都適用。
“這是很厲害的一條真理！頂點(diǎn)、線和面的結(jié)合囊括了關(guān)于球體的一些最基本的事實(shí)。”
8、歐拉-拉格朗日方程及諾特定理。
“這些方程相當(dāng)抽象，卻異常強(qiáng)大，”紐約大學(xué)的克蘭默說道。“很棒的一點(diǎn)就是這種思考物理的方式經(jīng)受住了物理學(xué)上的幾次重大革命，例如量子力學(xué)及相對論等。”
這里的L指代拉格朗日函數(shù)，即在一個(gè)物理系統(tǒng)中能量的計(jì)量，例如彈簧、杠桿或基本粒子。“解這個(gè)方程會(huì)告訴你該物理系統(tǒng)將如何隨著時(shí)間演化。”克蘭默說。
拉格朗日方程衍生出的諾特定理是以20世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家艾米·諾特命名的。“這一定理對物理學(xué)和對稱性來說都是基礎(chǔ)性的。”克蘭默說。“通俗地說，這個(gè)定理就是假如你的系統(tǒng)有對稱性，那么就有相應(yīng)的守恒定律。例如，今天的物理基本法則和明天是一樣的（時(shí)間對稱），表明能量守恒。地球上的物理定律和外太空的物理定律是相同的，表明動(dòng)量守恒。對稱性或許是基礎(chǔ)物理的驅(qū)動(dòng)理念，這主要是諾特的功勞。”
9、卡蘭-西曼齊克方程。
“卡蘭-西曼齊克方程是20世紀(jì)70年代以來非常重要的第一原則性方程，對描述量子世界中簡單預(yù)期會(huì)如何失敗至關(guān)重要。”美國羅格斯大學(xué)理論物理學(xué)家馬特·斯特拉斯勒說道。
該方程有多種應(yīng)用，包括讓物理學(xué)家能夠估算組成原子核的質(zhì)子和中子的質(zhì)量及大小。
基礎(chǔ)物理告訴我們，兩物體間的引力及電力與它們之間的距離成平方反比。在簡單的層面上，這對將質(zhì)子和中子結(jié)合在一起組成原子核及將夸克結(jié)合組成質(zhì)子和中子的強(qiáng)核力是成立的。但是，微小的量子漲落能輕微地改變一種力對距離的依賴性，這就為強(qiáng)核力帶來了莫大的影響。
“這阻止了力隨距離衰減，導(dǎo)致其捕獲夸克并將它們聚合成形成我們世界的質(zhì)子和中子。”斯特拉斯勒說。“卡蘭-西曼齊克方程的作用就是將這種距離只有近一個(gè)質(zhì)子大時(shí)，巨大且難以計(jì)算的效應(yīng)，與距離遠(yuǎn)小于一個(gè)質(zhì)子時(shí)可度量的更微妙但是較易計(jì)算的效應(yīng)聯(lián)系起來。”
10、極小曲面方程。“當(dāng)你把金屬圈蘸上肥皂水再拿出來時(shí)，金屬圈上會(huì)形成一層美麗的薄膜。極小曲面方程就是用來解釋這層肥皂膜的。”威廉姆斯學(xué)院數(shù)學(xué)家弗蘭克·摩根說道。
“這一方程是非線性的，涉及導(dǎo)數(shù)的冪及乘積，也就是奇特的肥皂膜所包含的數(shù)學(xué)原理。這與熱傳導(dǎo)方程、波動(dòng)方程及薛定諤量子物理方程等更為人熟知的線性偏微分方程形成了鮮明對照。”
11、歐拉線。
紐約數(shù)學(xué)博物館創(chuàng)始人格蘭·惠特尼選中了另一個(gè)幾何定理，這一定理與歐拉線條相關(guān)，因18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家及物理學(xué)家萊昂哈德·歐拉而得名。
“從任意三角形開始，”惠特尼解釋道。“畫出包含該三角形的最小圓，并找出圓心。找到三角形的重心。畫出三角形的三條垂線，找到它們的交點(diǎn)。這一定理就是，你剛剛找到的所有三個(gè)點(diǎn)永遠(yuǎn)落在一條直線上，這叫作三角形的‘歐拉線’。”
惠特尼稱，這一定理說明數(shù)學(xué)的力與美往往能揭示出簡單常見的形狀暗藏著令人驚異的范式。
