時間有正負嗎？數(shù)有正負嗎？頻率有正負嗎？這些看似簡單的問題里面，卻包含著很深的物理和數(shù)學問題。尤其是涉及到物理問題，即物理的實驗和數(shù)學如何互相驗證的問題。物理所描述的對象是一個實在的客體，需要利用工具來計量，而數(shù)學是從物理對象中抽象出來的符號表現(xiàn)和行為規(guī)律。自洽的理論是物理與數(shù)學模型的完美對應(yīng)，數(shù)學的最終目的也是為物理服務(wù)。物理與數(shù)學的關(guān)系是一個實實在在的問題，其關(guān)系是否正確，需要通過不同的數(shù)學方法和物理試驗來相互驗證。而所涉及到的結(jié)果否正確，又與基本參數(shù)的設(shè)定乃至與最初的假設(shè)和定義都有關(guān)。
比如，所述的問題，頻率有正負嗎？頻率有正負，是不是有些奇怪。頻率不就是一個在單位時間內(nèi)周期性振動的量度嗎？這個問題，我以前沒有太深入的思考過。直到研究噪聲時，才發(fā)現(xiàn)這里別有洞天，這的確是個實實在在不可回避的問題，讓我追究下去。
經(jīng)典的噪聲公式推導是Nyquist在1928年給出的，基于統(tǒng)計力學、能量均分原理和傳輸線的原理，給出了簡明扼要的結(jié)果。噪聲電勢V的大小等于電勢的平均：V=4kTRΔf。結(jié)果很明顯，就是處于熱平衡下導體噪聲的大小等于絕對溫度T、電阻值R、波爾茲曼常數(shù)k和頻率帶寬Δf的乘積，并且有一個4倍的關(guān)系。問題就出在這個4倍上。
在文獻研究中，發(fā)現(xiàn)了另一種噪聲的推導方法。即以維納-辛欽Wiener-Khintchine理論為出發(fā)點，該理論是用于研究隨機振動的，用功率譜密度函數(shù)（自譜）從頻域的角度來描述相關(guān)性的，即單位頻率下物理量的強度量度，進一步可理解為一種‘流體’在頻域上的密度函數(shù)。直接用公式表示為：S(w)=4Int(C(t)cos(wt)（0<ω=2πf<∞）。其中J為噪聲的功率頻譜密度函數(shù)，C是‘流體’的時間相關(guān)函數(shù)，表示為C(t)=Ave(Vi(t)V(t+dt)。通過適當計算得到C與時間的關(guān)系,再利用上述傅立葉變換直接得到S；進一步通過關(guān)系求出最終結(jié)果。
上述公式的奇妙之處在于S(ω)該公式前面直接就有個系數(shù)4，這讓人非常感興趣，似乎有‘湊數(shù)’之嫌。這個4呀，還真不是湊出來的，它是經(jīng)過一步一步數(shù)學推導出來的，涉及到與時間和頻率為正負變量的自相關(guān)函數(shù)的理論。簡而言之，自相關(guān)函數(shù)經(jīng)過傅立葉變換后得到頻域的功率譜密度函數(shù)：S(w)=Int(C(t)cos(wt)�？紤]積分上下限和偶函數(shù)的特性得到：S(w)=2Int(C(t)cos(wt)（-∞<ω<∞）。再進一步，考慮所謂的單邊功率譜，則得到S(w)=4Int(C(t)cos(wt)（0<ω=2πf<∞）（0<ω<∞）。注意，括號中角頻率邊界條件的變化。原來這個4是經(jīng)過兩次變換得來的。第一個是時間的積分范圍是從負無窮大到正無窮大，隱含著時間是對稱的，那么就簡化為從0到正無窮大，多了一個2倍。其實，這個時間的對稱性可以簡單理解為，以某一個時刻開始計時，此前的則為負時間，此后的則為正時間。第二個頻率的積分范圍從負無窮大到正無窮大，如果頻率也是基于零頻率原點對稱，存在著正負頻率，那么同樣存在著一個約化過程，積分范圍變成從0到正無窮大，即又多了一個2倍的關(guān)系，因此是四倍。
上述的數(shù)學推導沒有任何問題，如果說時間的正負問題我們已經(jīng)‘解決’了，那么頻率正負的問題就來了。時間是個單箭頭的物理量，那么頻率呢？讓人感覺奇怪的是，頻率不就是個數(shù)值的大小嗎？頻率的正負來源于哪里呢？負頻率是否也同時間的正負一樣，只是某個時刻開始的前后嗎？如果說存在負頻率，那么負頻率的物理意義是什么？
文獻中可以發(fā)現(xiàn)，兩種數(shù)學推導，以及其它的推導方法都得到了這個4倍關(guān)系的存在，而且后來很多的實驗都得到了證實，并且與實驗吻合得都非常好，這說明從數(shù)學的角度來看，對該問題的處理，沒有任何問題。即，在理論和實驗上都得到了圓滿的相互驗證，并且理論不是憑空捏造的，也是有根有據(jù)的。那么，由此問題看來，從數(shù)學上看，這就表明負頻率存在的正確性，否則，結(jié)果將會存在倍數(shù)的差異。那么這在物理上該如何理解頻率的正負呢？
說到這里，想到開篇的另一個問題，負數(shù)存在嗎？這也許是個哲學上的問題。世界上可能沒有負數(shù)，我們只能知道一個物理量的大小、有無，和某些特性。但從一些現(xiàn)象中，我們發(fā)現(xiàn)了相反的‘來來去去’過程，所以我們可以定義圓點和相反數(shù)，這樣便有了負數(shù)。比如，為了定義高低，就需要一個‘海平面’的基準，我們需要定義何處是零點，何處是高，何處是低。經(jīng)濟上，收入與支出等�；瘜W上，為了區(qū)分酸堿，于是定義了水的中性。這都需要我們給物理量定義中間態(tài)及零點。因此，正負數(shù)就有了它存在的實際意義。那么物理證據(jù)呢？比如，力的平衡，正、負電子相消，波的相干疊加、相長相消等。力的平衡就包含了矢量的問題分析，其中就涉及到方向，進而延伸到正負。這些都意味著物理世界正與負的客觀存在。定義了正負，就有了比較，就方便了計算，多了個重要判據(jù)的標準，擴大了我們對現(xiàn)象和規(guī)律的掌握和認識。
物理學中定義的矢量，雖然體現(xiàn)著物理量在空間上方向和大小的變化，本源上就反映了物理量的正負問題，比如：合力為零。實際上，空間的變化就隱含著正與負的變化。通常的理解，頻率本身就是一個數(shù)值數(shù)量大小和快慢的問題，而缺少了對它所包含著的對方向的認識。角頻率就是不折不扣的矢量，于是頻率便有了正負的問題。
進一步闡述，其物理意義可能就清楚了。如果頻率的定義，就簡單是一個在單位時間內(nèi)周期性振動的量度，那么這個定義就狹隘得多，即用一個符號f來表示。我們知道還有另外一個量描述頻率，就是角頻率。一個圓周上運動的質(zhì)點，速度矢量不斷發(fā)生變化，其中涉及到角頻率ω，角頻率是矢量。矢量不僅有大小，還與方向有關(guān)。如果方向有了正負，那么對應(yīng)的物理量便也有了正負。這個方向?qū)?yīng)了另一個矢量---位移。位移不但有大小，還有方向，這個方向包含了正與負的概念。角頻率和頻率的數(shù)量關(guān)系是ω=2πf。陀螺的分析中，角頻率和速度、半徑的關(guān)系為：。其中，任意一個矢量的方向發(fā)生了變化，就有了正負的變化，也將導致其它量的正負變化（按照右手定則）。比如，齒輪的旋轉(zhuǎn)就有正反兩個方向。這樣，如果定義了一個旋轉(zhuǎn)方向為正方向，那么另一個反向的旋轉(zhuǎn)方向便為負方向，由此，‘頻率’便有了正負。
那么，在無線電中如何理解正負頻率呢？在無線電信號調(diào)幅調(diào)制中，載波經(jīng)單一頻率信號的調(diào)制后，其頻譜包含三個頻率分量，均勻分布在載波中心頻率的左右。那么，可以把低頻處的頻率理解為負頻率，而高于中心處的頻率為正頻率。
對于振動中的噪聲該如何理解正負頻率對其作用呢？同樣如此。我們可以把一個微觀粒子當作一個圓形的輪子，或者一個球體。那么在外界來自不同方向微擾力作用下，這些來自不同方向的力和波推動一個圓輪正轉(zhuǎn)或反轉(zhuǎn)，即相當于有正負頻率的波作用。
忽然想到，自然界中存在著一種手性的植物，或者左旋，或者右旋。還有我們的太陽系，幾大星球也是按照一定的方向旋轉(zhuǎn)進動，也是包含著方向的。星空是矢量！自然也是矢量。
數(shù)學上，正與負，虛與實，這隱含著一種對稱與平衡之美。但更主要的是，我們不知道源頭在哪里，時間之箭到底射向何方。固體物理中的波動方程的解就包含了正反兩個波，一種解釋就是我們不知道波來自于何方。
數(shù)學的美，物理的妙！天平的左盤里放著物理，天平的右盤里放著數(shù)學，人類的手指在調(diào)制著砝碼。證明，你要給我證明！
時間的箭啊，射出去就不再返回。
如果時光能夠倒流，該有多美妙！
人類的夢啊，我們要駛向何方？就是駕駛著物理的飛船，在數(shù)學中實現(xiàn)。
責編：微科普