最小作用量是一個(gè)泛稱(chēng)，不同的領(lǐng)域有不同的定義，即便對(duì)同一問(wèn)題也可以有多個(gè)最小作用量。1650年法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出光通過(guò)介質(zhì)時(shí)滿(mǎn)足所耗時(shí)間最短（或光程最短）原理，這被認(rèn)為是最小作用量應(yīng)用的第一個(gè)例子。光之所以會(huì)發(fā)生折射，是因?yàn)楣庠诳諝夂退械膫鞑ニ俣炔煌�，光就選擇了在阻力小、速度快的介質(zhì)中多跑一段，在阻力大、速度慢的介質(zhì)中少跑一段，這樣可達(dá)到最短時(shí)間通過(guò)介質(zhì)的目的。
由于光在空氣和水中的傳播速度不同，光從空氣中入射到水中會(huì)選擇了耗時(shí)最短的路徑，就發(fā)生了折射。正是因?yàn)楣獾恼凵浞旁谒械你U筆被折斷了。
光的這種“智慧”和人是一樣的。例如岸上一個(gè)人正好看到河里有人落水了，為了救人，我們總想在最短時(shí)間內(nèi)把落水者救上岸，如下圖所示。顯然由于水的阻力大，游泳的速度肯定沒(méi)有在岸上跑的速度快，大部分人會(huì)選擇圖中路徑2，先在岸上跑到距離落水者距離最近的C點(diǎn)，然后再跳入河中救人；與直線(xiàn)路徑1相比，路徑2要用時(shí)短，提高了救人效率（嚴(yán)格地說(shuō)，只有岸上的跑速度遠(yuǎn)大于河里游的速度才是圖中所示垂直的折線(xiàn)；極端的情況，如果兩者相差無(wú)幾，最佳路徑就接近于直線(xiàn)，而真實(shí)的情況應(yīng)在兩者之間，符合折射定律）。由此，我們看到從岸上某點(diǎn)到達(dá)河里某點(diǎn)的最快路徑不是直線(xiàn)，也是一條折線(xiàn)，這就幫助我們理解了光為什么要發(fā)生折射。
到河里救人的路徑彎折保證最短時(shí)間到達(dá)落水者位置（陰影部分表示河流）
這個(gè)原理的應(yīng)用遠(yuǎn)不止這些，1630年，伽利略在做斜面實(shí)驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)相同的小球從起點(diǎn)滑向終點(diǎn)，最快的路徑并不是直線(xiàn)而是一條曲線(xiàn)。我們知道兩點(diǎn)之間的直線(xiàn)只有一條，但曲線(xiàn)卻有無(wú)數(shù)條，一個(gè)問(wèn)題便是在這許多曲線(xiàn)中哪一條是最快的曲線(xiàn)？這就是著名的最速降線(xiàn)問(wèn)題。伽利略認(rèn)為最快的曲線(xiàn)是一條弧線(xiàn)（圓的一部分），這是錯(cuò)誤的。
1696年，約翰·伯努利將小球下落的空間分成許多小的下落層，每層高度為h，當(dāng) h很小時(shí)，可認(rèn)為小球做勻速運(yùn)動(dòng)，利用能量守恒定律，可求得小球到達(dá)每一層速度均不同。想想光折射、或者去河里救人，小球?yàn)榱嗽谧疃虝r(shí)間內(nèi)下落，速度方向就會(huì)不斷改變，當(dāng)h趨近于無(wú)窮小時(shí)，路徑就變成一條連續(xù)的曲線(xiàn)，即最速降線(xiàn)�？梢宰C明它是一條倒著的擺線(xiàn)（輪緣上的點(diǎn)在輪子滾動(dòng)時(shí)繪出的軌線(xiàn)）。
最速降線(xiàn)伯努利求解方法示意圖
可以看到我國(guó)古代房屋的屋頂一般都做成近似的擺線(xiàn)，雖然無(wú)法知道當(dāng)時(shí)的設(shè)計(jì)者是否知道最速降線(xiàn)，但這樣的屋頂設(shè)計(jì)客觀(guān)上起到了最短時(shí)間排走雨水、減小屋面載荷的作用。
山西喬家大院，注意曲線(xiàn)的屋頂而非直線(xiàn)
從光的折射到物體運(yùn)動(dòng)之間相似性，或許說(shuō)明了物理學(xué)大統(tǒng)一理論的可能性。萊布尼茨曾試圖建立一個(gè)能支配于整個(gè)力學(xué)和光學(xué)過(guò)程的作用量概念，這一思想對(duì)后來(lái)的學(xué)者產(chǎn)生了重大影響。法國(guó)科學(xué)家莫佩爾蒂（Maupertuis，也譯作莫泊丟、或莫培督、或馬保梯，大數(shù)學(xué)家歐拉是他的學(xué)生之一）分別在1741年，1744年，1746年發(fā)表了關(guān)于最小作用量原理的文章，他認(rèn)為自然界最普遍的原理就是最小作用量原理，只要找到合適的作用量，就可以構(gòu)建該學(xué)科的理論基礎(chǔ)。對(duì)于運(yùn)動(dòng)學(xué)，他還給出的作用量定義為：物體的質(zhì)量，移動(dòng)距離，與移動(dòng)速度的乘積。
最小作用量原理的進(jìn)一步發(fā)展，變分法起了不可忽視的作用。所謂變分就是泛函求極值問(wèn)題。當(dāng)一個(gè)函數(shù)的自變量本身就是函數(shù)的時(shí)候，稱(chēng)這樣的函數(shù)為泛函，形象一點(diǎn)就是函數(shù)的函數(shù)，泛函求極值問(wèn)題就是變分法。對(duì)于實(shí)數(shù)函數(shù)求極值，我們一般對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)，一次導(dǎo)數(shù)等于0，說(shuō)明存在極值，對(duì)變分的理解可類(lèi)比于微分。
舉個(gè)例子，“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”，這在高中知識(shí)中，是作為公理不言自明的，但借助于變分可嚴(yán)格證明。
A、B兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短示意圖
變分法是最小作用量原理的數(shù)學(xué)工具，必需聲明一下：泛函取極值，并非一定就是極小值，也可能是極大值，還有可能是駐值（定義：一階導(dǎo)數(shù)為0，但不是極值，可能為任一常數(shù)）。因此，在物理世界中作用量并非只有最小，更準(zhǔn)確地說(shuō)還有最大作用量原理，常數(shù)作用量原理。只是由于最小作用量原理最初研究的幾個(gè)問(wèn)題主要是最小值，人們也就習(xí)慣性的稱(chēng)為最小作用量原理。
舉一個(gè)常數(shù)作用量原理的例子。制作一個(gè)橢圓形的鏡面，如下圖所示，從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)，經(jīng)過(guò)橢圓的內(nèi)表面反射后，所有光線(xiàn)又匯聚于橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)。我們知道橢圓的定義為“到平面內(nèi)兩點(diǎn)（橢圓焦點(diǎn)）的距離之和為一常數(shù)（要求該常數(shù)大于兩點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡為橢圓”，那么，所有從一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)并在橢圓內(nèi)表面反射的光線(xiàn)，經(jīng)過(guò)橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)時(shí)，表明它們走過(guò)了相等的路程，并且等于橢圓長(zhǎng)軸。這就是常數(shù)作用量定理。
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橢圓鏡面反射，從一個(gè)焦點(diǎn)出來(lái)的光線(xiàn)又匯聚到另一個(gè)焦點(diǎn)
再舉出一個(gè)“最大作用量原理”的例子，最大熵原理。熵原本是熱力學(xué)概念，宏觀(guān)上，系統(tǒng)的熵變等于可逆過(guò)程吸收或耗散的熱量除以它的絕對(duì)溫度（克勞修斯，1865）；微觀(guān)上，熵是大量微觀(guān)粒子的位置和速度的分布概率的函數(shù)，是描述系統(tǒng)中大量微觀(guān)粒子的無(wú)序性的宏觀(guān)參數(shù)（波爾茲曼，1872）。結(jié)論：熵是描述事物無(wú)序性的參數(shù)，熵越大則無(wú)序。
1948年，信息學(xué)之父香農(nóng)借用了熱力學(xué)中熵的概念去描述信息源的不確定度，提出了“信息熵”的概念。比如參加高考的學(xué)生，他說(shuō)“我一定能達(dá)一本線(xiàn)”，這種說(shuō)法是確定的，信息熵為0；如果說(shuō)“有兩種可能，一種能達(dá)線(xiàn)，一種達(dá)不了線(xiàn)”，這種說(shuō)法就具有不確定，不確定性越強(qiáng)信息熵就越高。
再例如，一個(gè)人要投資做生意，那就需要盡可能把所有的情況都考慮周全，這樣如果你考慮的比我周全，你掌握的信息熵就大，不確定度就大。不確定度大并非壞事，因?yàn)榭紤]周全了，才有可能針對(duì)性的做出各種防范或補(bǔ)救方案，投資的風(fēng)險(xiǎn)才會(huì)降低（從這個(gè)角度來(lái)看，最大熵實(shí)際上是要風(fēng)險(xiǎn)最低，最大熵是否可等價(jià)于最小風(fēng)險(xiǎn)？這樣仍可以統(tǒng)一成最小作用量原理。不知道常數(shù)作用量原理，如橢圓鏡面反射問(wèn)題，能否找到等價(jià)的最小作用量？）。
投資策略中“不要把雞蛋放在同一個(gè)籃子里”的前提，你必須掌握足夠的信息熵
最大熵原理就是要保留全部的不確定性，這樣才能做到心中有數(shù)，并達(dá)到降低風(fēng)險(xiǎn)的目的。對(duì)于在校大學(xué)生，最大熵原理的意義在于多學(xué)一些知識(shí)，增加自己的信息熵，將自己的人生風(fēng)險(xiǎn)降到最低。別的同學(xué)掌握了比你更多的信息熵，他對(duì)人生考慮的周祥，他面對(duì)的人生風(fēng)險(xiǎn)就低。
現(xiàn)實(shí)中小學(xué)畢業(yè)的做老板，大學(xué)畢業(yè)的打工。這并不是普遍現(xiàn)象，并且通常情況下我們也會(huì)說(shuō)是機(jī)遇問(wèn)題，對(duì)于一部分老板，他的人生是確定的而非不確定的，比如繼承，所以他沒(méi)有掌握更多信息熵的需求；另外一些老板雖然沒(méi)有在大學(xué)里學(xué)，但是在人生的大學(xué)堂中仍是學(xué)習(xí)的佼佼者，比如《大染坊》中的陳壽亭，只是他的學(xué)習(xí)可能要比在學(xué)堂里的學(xué)習(xí)要辛苦幾倍。
最大熵原理、常數(shù)路程原理、最短時(shí)間原理都是最小作用量原理的例子。龐加萊說(shuō)“最小作用量原理迄今未經(jīng)觸動(dòng)，人們似乎相信他會(huì)比其他原理更久長(zhǎng)”。愛(ài)因斯坦則講到最小作用量原理似乎“使物理學(xué)家們窺探到了那么一點(diǎn)點(diǎn)“上帝”創(chuàng)造世界的秘密。”它的高度抽象，足以使它成為大自然最迷人、最美妙的原理之一，它的簡(jiǎn)潔性和普適性令人震撼。似乎在科學(xué)的范疇中，人類(lèi)只需要找到合適的作用量去描述自然，一切皆可明朗！
大自然都在照著最小作用量原理行事，我們又如何拋開(kāi)最小作用量原理而生存呢？
說(shuō)明：關(guān)于Maupertuis的翻譯上述三種翻譯都有見(jiàn)。如，百度百科“最小作用量原理”中“莫培督在其1744年的一片著名論文中宣布了一個(gè)原理，他稱(chēng)之為“最小作用量原理””又“1744年由馬保梯最先提出的一個(gè)最小作用量原理。”；百度百科“皮埃爾•莫佩爾蒂”中“莫佩爾蒂于1744年發(fā)表了最小作用量原理”�；�(dòng)百科“物質(zhì)波理論”中“在給出費(fèi)馬原理和莫泊丟原理的相似性表示后(指最小作用量)…”
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