我們都知道，實數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)，在日常生活中，接觸到的多為有理數(shù)，有理數(shù)極多，密密麻麻地排布在數(shù)軸上，即便如此，無理數(shù)還見縫插針地往里塞，這在數(shù)學(xué)中稱為“稠密性”，即任意兩個不相等的實數(shù)之間，不管挨得多近，總有另一個實數(shù)賴在中間不走。那么，聰明的古人是怎么發(fā)現(xiàn)無理數(shù)存在的呢？
這和勾股定理有著莫大的關(guān)系，我們都知道，在直角三角形中，直角邊a、b和斜邊c滿足：a2+b2=c2，其中蘊含著平方和開方運算，這樣必然會出現(xiàn)對整數(shù)開方不盡的情況，約在4000多年以前，美索不達米亞人在計算邊長為1的正方形的對角線長時，發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)√2的存在，雖然沒有給出嚴格定義，但擅長計算的他們采用遞歸法找到了一個無限接近√2的有理數(shù)，人們在楔形文字泥板中精確到小數(shù)點后1000000位。
發(fā)現(xiàn)無理數(shù)，這得歸功于古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家畢達哥拉斯的弟子——希帕索斯。也是在求正方形的對角線時，希帕索斯發(fā)起了愁，這到底是個什么數(shù)？根據(jù)老師所講，“萬數(shù)皆數(shù)”，“1是所有數(shù)的生成元”，“宇宙的一切都歸結(jié)于整數(shù)和整數(shù)之比”，既然能用合適的整數(shù)來表示對角線，那么，能否用兩個整數(shù)比來描述呢？希帕索斯花了很長時間，仍是一無所獲。
緊接著，希帕索斯利用畢達哥拉斯學(xué)派常用的方法——反證法，證明出了這個數(shù)字無法表示為兩個整數(shù)之比：假設(shè)數(shù)為a=q/p，假設(shè)q、p是化為最簡分數(shù)比后的整數(shù)，即q、p互素，根據(jù)勾股定理，12+22=a2=(q/p)2，化簡為2p2=q2，從這個算式可以看出，q2是偶數(shù)，那么q也是偶數(shù)，q、p互素，所以p肯定是奇數(shù)；
如果q是偶數(shù)，則可以表示為q=2b(b是自然數(shù))，帶入2p2=q2中，得p2=2b2，那么，p2是偶數(shù)，p也一定時偶數(shù)，與上段結(jié)論矛盾。于是，√2不能表示成兩個整數(shù)之比，那么，這到底是什么呢？除了整數(shù)和整數(shù)比(即分數(shù))外，世上還有別的數(shù)嗎？帶著疑問，希帕索斯找到了老師畢達哥拉斯，誰知，看到推到推翻了“萬物皆數(shù)”的觀點后，畢達哥拉斯沒有“江山代有才人出“的自豪，反而非常驚慌，擔心學(xué)生的發(fā)現(xiàn)會動搖學(xué)派的根基，便將希帕索斯囚禁起來，最終殘忍地將他丟進大海，這是數(shù)學(xué)史上的一個悲劇。
但是，秘密并沒有被隱藏很久，人們最終還是知道了這些數(shù)的存在。15世紀時，著名畫家達·芬奇稱之為”無理的數(shù)“。17世紀時，德國天文學(xué)家開普勒稱之為”不可名狀的數(shù)“，畢達哥拉斯學(xué)派的”無理“之舉，奪去了希帕索斯的生命，為了紀念這位為真理獻身的學(xué)者，人們把這種”不可公度比“的數(shù)稱為”無理數(shù)“，而像√2這種記法，最開始是由數(shù)學(xué)家笛卡爾提出的，沿用至今。
無理數(shù)的被發(fā)現(xiàn)看似攻破了畢達哥拉斯派的理論基石，其實非也，只是當時的知識體系并沒有現(xiàn)在這般完整，在現(xiàn)代實數(shù)理論中，無理數(shù)可定義為有理數(shù)的極限，如此看來，”萬數(shù)皆整數(shù)“的思想沒什么不對，這是畢達哥拉斯這位數(shù)學(xué)大師沒有料到的，不知他老人家如果地下有知，有沒有后悔過，抹殺真理，迫害自己的弟子呢？