在西方，自然數6就是一個備受寵愛的數字。有人認為,6是屬于美神維納斯的,它象征著美滿的婚姻；也有人認為,宇宙之所以這樣完美,是因為上帝創(chuàng)造它時花了6天時間等等。中國人對6的寵愛，也是很有說法的；例如“六六大順”“六畜興旺”“六谷豐登”“六朝金粉”“六合同風”“身懷六甲”“眼觀六路”……不一而足。
在數學領域，6是第一個完全數，也是最小的完全數。所謂完全數(又稱完美數或完備數)，是一種特殊的自然數；它所有的真因子(即除了自身以外的約數)的和，恰好等于它本身。例如6有約數1、2、3、6，除去它本身6外，其余3個數相加，1+2+3=6；第二個完全數是28，它有約數1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5個數相加，1+2+4+7+14=28。公元前6世紀的古希臘數學家、哲學家畢達哥拉斯是最早探究完全數的人,他已經知道6和28這兩個自然數是完全數了。
到了公元前3世紀，古希臘數學家歐幾里得在其名著《幾何原本》中首次給出了尋找完全數的方法,被數學界譽為歐幾里得定理：如果2^P-1是素數(其中指數P也是素數),則2^(P-1)(2^P-1)是完全數。2^P-1型的素數被數學界稱為梅森素數，它是以17世紀法國數學家馬林·梅森命名的。
1730年,被稱為“世界四大數學家雄獅”之一的瑞士數學家歐拉,時年23歲,正值風華茂盛。他出手不凡，給出了一個出色的定理：每一個偶完全數都是形如2^(P-1)(2^P-1)的自然數,其中P是素數,2^P-1也是素數。這是歐幾里得定理的逆定理。有了歐幾里得和歐拉兩個互逆定理,公式2^(P-1)(2^P-1)就成為判斷一個偶數是不是完全數的充要條件了。
法國哲學家、數學家、物理學家笛卡爾曾公開預言：“能找出完全數是不會多的，好比人類一樣，要找一個完人亦非易事。”歷史證實了他的預言。2600多年來，人們歷盡艱辛，一共才找到51個完全數。有趣的是，這些完全數都是偶數；其個位數要么是6，要么就是8。由于完全數具有獨特美妙的數學性質，千百年來，許多著名數學家以及無數數學愛好者對它情有獨鐘。
最近，來自美國佛羅里達州的互聯網專家及數學愛好者帕特里克·拉羅什利用“互聯網梅森素數大搜索”（GIMPS）項目，成功發(fā)現第51個完全數2^82589932（2^82589933-1）；該數有49724095位，是目前人類發(fā)現的最大完全數。如果用普通字號將它打印下來，其長度將超過200公里！
由歐幾里得-歐拉定理可知，人們只要找到一個梅森素數，就可以找到一個與其對應的偶完全數。梅森素數貌似簡單，但當指數P值較大時，其探究難度就會很大。它是數論研究的一項重要內容，也是當今科學探究的熱點和難點之一。目前，世界上有190多個國家和地區(qū)近70萬人參加一個名為“互聯網梅森素數大搜索（GIMPS）”項目，并動用了超過183萬核中央處理器聯網來尋找梅森素數。
值得一提的是，在梅森素數的基礎研究方面，法國數學家魯卡斯和美國數學家雷默都做出了重要貢獻；以他們命名的“魯卡斯-雷默方法”是目前已知的檢測梅森素數素性的最佳方法。另外，中國數學家、語言學家周海中給出了梅森素數分布的精確表達式；這一研究成果被國際上命名為“周氏猜測”。
需要指出的是，完全數其實目前并不“完全”，它還有一些謎團尚未解決。例如：完全數是有限還是無窮多個？存在不存在奇完全數？這是當今數論領域的兩大著名難題。這些難題與其它科學難題一樣，有待人們去攻克。正如德國數論專家西格爾所言：“待到它們被完全破解時，完全數才算是真正的完全數。”
盡管我們現在還看不到完全數的實際用處，但它反映了自然數的某些基本規(guī)律。探究自然規(guī)律，揭開科學上的未知之謎，正是科學追求的目標。
（作者系德國波恩大學訪問學者）
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