由于2^P-1型的素數(shù)具有獨特數(shù)學性質，千百年來，許多著名數(shù)學家以及無數(shù)數(shù)學愛好者對它情有獨鐘。其中，17世紀的法國數(shù)學家馬林·梅森在這方面有過重要貢獻。為了紀念梅森，數(shù)學界就將2^P-1 型的素數(shù)稱為“梅森素數(shù)”（the Mersenne prime）。這種素數(shù)珍奇而迷人，因而被稱為“數(shù)海明珠”。梅森素數(shù)歷來是數(shù)學領域的重要分支——數(shù)論研究的一項重要內容，也是當今科學探索的熱點和難點之一。
梅森素數(shù)貌似簡單，但當指數(shù)P值較大時，其素性檢驗的難度就會很大；此外，它的探究需要高深的理論和純熟的技巧，以及艱巨的計算。例如：1772年，享有“數(shù)學英雄”美譽的瑞士數(shù)學家及物理學家歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了2^31-1(即2的31次方減1)是個素數(shù)；該數(shù)有10位（2147483647），堪稱當時世界上已知的最大素數(shù)。歐拉的毅力與技巧都令人贊嘆不已；難怪法國大數(shù)學家拉普拉斯向他的學生們說：“讀讀歐拉，他是我們每一個人的老師。”在“手算筆錄年代”，人們歷盡艱辛，共計才找到12個梅森素數(shù)。
電子計算機的出現(xiàn)，大大加快了探究梅森素數(shù)的步伐。1996年初，美國數(shù)學家及程序設計師喬治·沃特曼編制了一個梅森素數(shù)計算程序，并把它放在網(wǎng)頁上供人們免費使用。這一計算程序就是舉世聞名的GIMPS項目，也是全球首個基于互聯(lián)網(wǎng)的網(wǎng)格計算項目。至今人們通過該項目已經(jīng)找到17個梅森素數(shù)。例如：2018年，美國數(shù)學愛好者帕特里克·拉羅什通過GIMPS項目，成功發(fā)現(xiàn)第51個梅森素數(shù)——2^82589933-1(即2的82589933次方減1)；該素數(shù)有24862048位，是迄今為止人類發(fā)現(xiàn)的最大素數(shù)。目前，全球有近75萬人參與GIMPS項目，動用了超過195萬核中央處理器（CPU）聯(lián)網(wǎng)來尋找梅森素數(shù)——這在數(shù)學史上前所未有，在科學史上也極為罕見。
值得一提的是，人們在尋找梅森素數(shù)的同時，對其重要性質——分布規(guī)律的研究也持續(xù)進行著。從已發(fā)現(xiàn)的梅森素數(shù)來看，它們在正整數(shù)中的分布極不規(guī)則。因此，研究梅森素數(shù)的分布規(guī)律似乎比尋找新的梅森素數(shù)更為困難。1992年，中國數(shù)學家及語言學家周海中運用聯(lián)系觀察法和不完全歸納法，率先給出了梅森素數(shù)分布的精確表達式，這一重要成果被國際上命名為“周氏猜測”。美籍挪威數(shù)論大師、菲爾茨獎和沃爾夫獎得主阿特勒·塞爾伯格指出：“周氏猜測具有創(chuàng)新性，開創(chuàng)了富于啟發(fā)性的新方法，其創(chuàng)新性還表現(xiàn)在揭示新的規(guī)律上。”
探究梅森素數(shù)具有重大意義，是發(fā)現(xiàn)已知最大素數(shù)的最有效途徑，有力地推動了素數(shù)論的研究。另外，梅森素數(shù)在計算機科學領域具有重要應用價值——它可以用來檢測計算機系統(tǒng)或程序中存在的問題。許多專家認為，梅森素數(shù)的研究成果一定程度上反映了一個國家的科技水平。英國數(shù)學協(xié)會主席、《素數(shù)的音樂》一書作者馬科斯·索托伊甚至認為，梅森素數(shù)的探究進展不但是人類智力發(fā)展在數(shù)學上的一種標志，也是整個科技發(fā)展的里程碑之一。
（作者單位：澳大利亞國立大學物理與數(shù)學學院）
責編：微科普